principes le premier eft fubordonné au fecond, & que la mesure des angles par les arcs de cercle décrits de leur fommet, eft elle-même dépendente du principe de la fuperpofition. Car quand on dit que la mefure d'un angle eft l'arc circulaire décrit de fon fommet, on veut dire que fi deux angles font égaux, les angles décrits de leur fommet à même rayon, feront égaux; vérité qui fe démontre par le principe de la fuperpofition, comme tout Géometre tant foit peu initié dans cette fcience le fentira facilement.

On placera donc d'abord à la tête des vérités géométriques, le principe de la fuperpofition, & immédiatement au-deffous celui de la mefure des angles dans une premiere branche collatérale; la fuite de cette branche contiendra les vérités principales qui dérivent de ce dernier principe; favoir la mesure des angles dont le fommet eft à la circonférence du cercle, & l'égalité des trois angles d'un triangle à deux droits; vérité qui réfulte ou peut étre conclue de cette derniere.

Dans cette espece d'échelle je regarde la mefure des angles par les arcs de cercle comme un principe du premier ordre, quoiqu'il ait au-deffus de lui le principe de la fuperpofition; & je pense ainfi pour

deux raifons; premiérement, parce que le principe de la fuperpofition eft moins une vérité primitive, qu'une méthode pour découvrir des vérités; fecondement, parce que le principe de la mesure des angles fe déduit facilement fans le moindre effort du principe de la fuperpofition; ce qu'on ne peut pas dire des autres vérités fur la mefure & le rapport des angles: car outre qu'elles dépendent de la premiere, elles demandent pour être apperçues, un peu plus de combinaison d'idées.

A l'égard de la propofition fur l'égalité des trois angles d'un triangle à deux droits, je la regarde comme un principe du fecond ordre; comme un principe, parce qu'elle eft la bafe & la fource d'un grand nombre de vérités de détail, & comme du fecond ordre, parce qu'elle a au-deffus d'elle d'autres vér tés dont elle dérive.

Après avoir formé cette premiere branche au-deffous du principe de la fuperpofi tion, qu'on peut regarder comme le tronc, on en établira une autre partant du même tronc. Elle contiendra d'abord les propofitions fur les paralleles & fur l'égalité des triangles qui ont certains angles & certains côtés communs; propofitions dont la preuve naît immédiatement du principe de la fuperpofition. Celles-ci conduiront à la pro

pofition fur l'égalité des parallelogrammes de même base & de même hauteur, qui fera, ainfi que la propofition fur l'égalité des angles du triangle à deux droits, un principe du fecond ordre, par la quantité de propofitions qui en dérivent; entr'autres toutes les vérités fur la comparaifon des triangles & des figures rectilignes & même du cercle avec des figures.

Les propofitions fur les paralleles, & celles qui ont pour objet l'égalité des triangles, conduifent, étant réunies entr'elles, à un autre principe fondamental du fecond ordre, le plus fécond peut-être de toute la Géométrie élémentaire, c'eft celui des côtés proportionnels des triangles femblables, qui est la base de tant d'autres théorêmes. il faut cependant remarquer que ce principe pour être démontré, a befoin d'emprunter quel que chofe d'une autre fcience, de celle des proportions, qui n'appartient pas immédiatement à la Géométrie, mais à la fcience des propriétés de la grandeur en géné ral, qu'on à nommé Algebre. On voit parlà, pour le dire en paffant, combien eft peu fondée la prétention de ceux qui veu. lent exclure l'Algebre de la Géométrie élémentaire: auffi font ils forcés de l'y admettre fous une forme au moins déguifée, dans les démonftrations qui dépendent des

proportions, & dans plufieurs autres; à moins que ces Mathématiciens ne s'imaginent avoir évité l'Algebre, quand ils ont mis dans une démonftration de grandes lettres au lieu de petites.

Les propofitions fur l'égalité des trian gles qui ont leurs côtés & leurs angles é gaux, combinées avec quelques-unes de celles fur la comparaifon des angles, peuvent conduire à un nouveau principe fon damental du fecond ordre, non moins fécond. que les précédents; c'est celui du quarré de Thypoténufe du triangle rectangle, égal à la fomme des quarrés des deux côtés; propofition dont la découverte coûta, dit l'histoire ou la fable, une hécatombe à Pythagore.

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On peut auffi déduire cette vérité, comme a fait Euclide, de celle de l'égalité des triangles de même bafe & de même hauteur, ou comme ont fait d'autres Géometres, de celle des côtés proportionnels dans les triangles femblables. Il ne feroit peutêtre pas inutile, dans des élémens philofophiques de Géométrie, de marquer ou d'indiquer au moins ces différentes voies qui conduisent à la même vérité. On pourroit. faire la même chofe pour d'autres propofi tions fondamentales, par exemple, pour celle de l'égalité des angles du triangle à deux angles droits; laquelle peut fe déduire

également ou des propofitions fur les paralleles, ou de celles fur la mesure des angles. L'efprit s'étend & fe fortifie, en voyant par ces différentes combinaifons qui conduisent au même but, de quelle manière les vérités fe rapprochent, & rentrent les unes dans les autres.

Comme nous ne nous fommes pas propofé de donner ici des Elémens de Géométrie, ni méme un plan général pour ces élémens, nous croyons en avoir dit affez pour faire entendre ce que nous appellons dans les fciences principes du premier ordre &principes du fecond, & la maniere de reconnoître les uns & les autres. Ce que nous avons dit de ces différentes fortes de principes, & ce que nous venons d'ajouter fur la maniere dont certaines vérités fe rapprochent, en conduifant par différentes routes à une même vérité fondamentale; tout cela pourroit fe répréfenter aisément dans une espece d'arbre figuré, ou généa logique, où la dépendance mutuelle des vérités fondamentales & la nature de cette dépendance feroit marquée par des lignes de communication différentes, & par ce moyen s'appercevroit fur le champ. Cet arbre feroit plus utile que tant d'arbres de nomenclature, dont la plupart des sciences font accablées, & qui forment prefque tou